啟蒙數學

我想大家都知道圓周率是一個無理數,也就說它是一個無止盡且沒有規律可循的數. 如何記圓周率的前一百位數呢? 怎麼樣從數學的角度來解這個題目呢? 因絕大部份的人記東西是靠邏輯及規律,沒有邏輯的東西是很難記住的,不用說要長記,尤其記的數量一多的話困難度成倍增加. 我想這應該是,為甚麼我們只記圓周率的前三位數的原因吧! 為了要有邏輯,就要把這個沒規律可循的數或系統,對應到一個有規律可循的系統.而且這個系統最好是眾所週知的,例如國語的諧音,注音符號(ㄅㄆㄇㄈ),英文字母(ABC),或應用英文字母的長度等. 因居住在美國,我選擇ABC這個系統使用. 以數學的術語來說,需要被記住圓周率的前一百位數是方程式的自變數(x), 英文字母(ABC) 是其應變數(y). 還記住y=f(x)嗎? 在加入公式 (f) 或所謂的函數, 這個記圓周率的問題就有解答了. 如以國語的諧音而言,公式(f)是先把數字分成等長的小段,例如五個數字為一段,用0..9的諧音來造有邏輯的詞. 例如31415可以造成“三億是一物,善意是義務,或參予事與物”(如沒有看出左邊的邏輯,請將括號裡的內容唸一次) 以這方式來造二十有邏輯關係的詞來記這一百位數. 也可以用英文字母的長度的方法來記, 任何3個字母長的字,可用來記3, 5個字母長的字,可用來記5等. 31415 可以對應到,例如See! I fold a cloth. 其中See的字長是3來記住第一個數是3. 這方法也可記圓周率的前一百位數. 不過字長時效率會差一點. 至於我用系統是將 0..9 對應到英文字母(ABC)的方法.先將英文字母的母音(a,e,i,o,u)拿掉後,將其餘字母依序填入下列表中與1..0形成對應.

我想替雪(六年級學生)報名參加一個記單字活動. 活動的主旨是為了鼓勵小朋友做事情要有責任感,恆心,和效率. 活動的內容是在一百天內記住一本15,000個字的字典. 同義不同詞類的字, 如Abhor, abhorrent, 和abhorrence算一個單字. 參加的小朋友必須自付$30美金的保證金. 其目的是用來端正有些小朋友不是自己的東西就可以浪費,不必愛惜,這種不良習慣. 讓他們能體會到,家長替他們所做的一切不是理所當然的. 所以鼓勵家長不要替小朋友出保證金. 一百天過後立即測驗. 測驗後保證金是可退回,只要家長說小朋友已經盡力了. 測驗得滿分的小朋友可得美金$1,000的獎金.

獎金真有吸引力,雪沒有仔細考慮過就答應要參加. “15,000個字是很多的,你要不要我們先試試看,你有這個能力才報名,報名截止日期(5/18/10)是明天,我們還有一點時間.”我說. 雪說好. 才試了不到十分鐘,雪就哭了說她記不住. 也難為她了,要把一堆像 “aardvark, abscess, accolade, abstruse, acquiesce, stalagmite…”的字,一字不漏,包括字義及其詞類,硬記在腦子裡,確實有它的困難度. “那就不要參加, 反正我們還沒有報名”我說. 雪回覆她真的很想試看看. 雪說我能跟她一齊做,好嗎? 她想學我的記字方法. 我說記單字是用想的,不是用背的,要用已知來學未知. 舉一個例子,你怎麼記 abysmal (深淵的,無底的, 很困境的) ,我強調是用想的,不是用背的. 她說發音與 “a bit small”很像. 我說是的,然後接著說“I buy a small pants that is a bit small and use up all of my money. Now, I am abysmal.”翻譯成:我買一件有點小褲子,並使用了我所有的錢我,現在陷入困境了. 雪,我的體悟是記字必須用邏輯來記,才會一勞永逸. 因為有邏輯才能回想,也才記住,就像記住電影的情節一樣.我記這個字的邏輯是用 “buy a small”來記住abysmal 的字型, “a bit small” 來記字的發音. “use up all of my money (用了我所有的 錢) ”而且我買的褲子穿起來不舒服,來我記住abysmal 的字義. 接下來可以再用abysmal來記它的名詞abyss(深淵,無底洞),那就簡單多了. 雪笑了. 大慨是因為她可以少記兩個字罷!

很多人把數學歸類於,畢業後就用不到的東西, 我想這是歸功於背公式和熟練解題技巧的結果吧! 還沒有能自學之前的我,也屬於這一類型. 真不知道為甚麼要花至少九年時間來學畢業後就用不到的東西 .   自學後,才瞭解為甚麼學校要有數學課. 因為數學是用來做邏輯思考的訓練,而不是背公式的磨練和熟練解題技巧的鍛鍊. 對我而言,數學是即使沒有天天用,也要經常用的. 現在介紹給您一個如何用數學來幫助 記憶的例子. 假如我給您一天的時間,要您記住圓周率的前一百位數 (3.1415 92653 58979 32384 62643 38327 95028 84197 16939 93751 06820 97494 46923 07816 40628 21689 21689 03482 52421 67170), 而且要能倒背. 一天之後就不准再練習,三個月後才測驗您. 您說您成功的可能性有多少呢? 我與雪在兩小時內就做到了. 以下是我們用的方法. 讓您思考思考其中之邏輯.

下一次我們再來討論,為甚麼我的方法可以記住圓周率的前一百位數及其與數學的關係.

記的好像是第二次上課時, 我的學生恩問我如何邏輯推理? 他說“我可以解題,因為我只要把過程記住就行了. 如果題目必須無中生有的話,例如作補助線, 我就有問題了. 你能教我怎麼想嗎?” 我說“你是我教過幾千個學生中, 第一個要我教他怎麼想的人. 何況你才一個國中生, 我教過的學生大多數是大學或以上的學生. 不錯喔!”你有想懂甚麼樣的題目嗎?  他回覆沒有. 我就問恩: 如何證明60度直角三角形的邊長比率為1 : 根號(3) : 2? 他想一下後, 說他不會. “考試時, 你喜歡看到甚麼樣的三角形題目, 例如任意, 等腰, …” 我問. 他回覆,直角,等腰,和正三角形. (您想到的是不是跟恩的一樣的呢?)  我問他 “為甚麼呢?”  恩回覆, “那些三角形帶有特別的性質.”  我叫恩,試用他所知道三角形的性質來證明. 恩說, 能不能舉例. 我提示恩,在三角形的內部作補助線,來行成你喜歡的特別三角形. 恩想了一下說他會了. 請看他的解法:

今天我的學生楊,問我一個有關對數不等式的問題, 1 + log ₂(2x+1) > log ₄(4x – 1), 解x, 說他不會. 我跟往常一樣, 叫他出給他自己同一類型,簡單一點的問題. 他說 “1 > log ₄(4x – 1), 解x,可以嗎?” 我點頭說 “你應該會判斷才是阿! 你會解嗎?” 楊知道如果他不會的話, 我會叫他出一個更簡單一點的問題, 直到他會解為止. 如果他不會解的話, 他出下一更簡單一點的問題, 可能是1 > log ₄
x, 解x. 以下是他對 “1 > log ₄(4x – 1), 解x” 這個問題的解法:

有一天晚上雪心血來潮問我 “如何用我自創的記英文單字的方法,來記幾個她一直沒有辦法記住的單字.” 我說“可以啊!”,並且問她 “你需要記住字義嗎?”  她說“我知道字義也會說,但拼不出字來.” 她就一個字一個字跟我交流. 您也可以試試看您會如何記它們喔!

By using the M4M Image Learning http://memoryformany.com, #vocabulary #education #English #英語 如果您知道單字“time”和 #m4milm，您可以在幾秒鐘內學會“emit”這個字。

在閱讀本部落格的其他如何有效率記英文單字的文章,並有了短的單字(五個字母和五個字母以下)為基礎後,可運用已記住的短的單字來記長的單字(五個字母以上).  較有效的方法為用已知短的單字以邏輯推理的方法來學未知長的單字. 在這裡的邏輯推理的方法是用您已有知識, 經驗,和習慣來幫您記長的單字. 最好不要強記別人的方法來幫您記憶.例如如果您知道獅子跑比駱駝快,或您曾經看過電影,或親眼看過,或夢過一隻獅子追捕並吃了駱駝的情形且深記在您的腦海裡(不需再記憶). 以下的例子適合您用. ameliorate(改善,進步)可用camel + lion + rate來記憶. 字母c, l 和n被加入以便字型和字義的記憶.  首先你必須記camel(駱駝) + lion(獅子) + rate(率,速度) 的意思. 因獅子跑的速度比駱駝快.  所以從駱駝的速度提升至獅子的速度有進步及改善的涵義. 故 ameliorate 可用以上的邏輯方法來記憶. **請注意被加入的字母 只能用很簡單而不需再記憶的規則. 例如字母只能加在一個字的最前面或(和)最後面.

數學歸納法（Mathematical Induction）是數學上的一種證明方法, 其被用於證明某個給定公式或 定理 在整個自然數範圍內成立且不須知道推導公式或定理 卻能證明公式或定理是否正確的方法. 換言之,其為證明函數ƒ(x)的公式是否成立的方法  - 先證起始點是正確, 如命起始點n=1時而ƒ(1) 成立, 並設n=k時ƒ (k) 成立且n=k+1時也成立. 所以此函數公式是成立的.此觀念與骨牌遊戲的原理是一樣. 如n=1成立推至n=k=1 n=k+1=2也成立,現在n=k=2成立推至n=k+1=3也成立,於至列推n=k=任何都成立. 以下是用數學歸納法證明ån² = n(n+1)(2n+1)/6 是否正確,與用數學歸納法推導及證明隸美佛定理的例子. Mathematical induction is a method of mathematical proof that a given formula or theory, whether is true for all natural numbers or not with and without knowing how to derive the formula or theory. It is done by proving that the initial point a formula or theory is true, and then proving that if any one point in the formula is true, then the next one is true, too. For example, let n=1 is true then n=k=1 Þ n=k+1=2　is true.  Since n = 2 is true, then n=k+1=2 Þ n=k+1=3 is also true. By doing so, n= k = any number can be proven to be true.  The following are two examples to demonstrate how to use Mathematical induction to prove that ån² = n(n+1)(2n+1)/6 is true, even one does not know how to derive the formula and also to derive and prove De Moivre's Theorm.

| x |,  x以外的符號 |  | 是所謂的絕對值. 這表示不管x是一個正數或負數的值，取絕對值得結果是恆正. 例如 | x | = 1, 則 x = 1 或 x = -1,  | x | > 1, 則 x > 1 或 x < -1, 且 | x | < 1, 則 x < 1 或 x > -1. 從幾何的角來看, | x | < 1可解示成以x=0為中心點距離小於1的所有點的集合. 絕對值的題目可以蠻進階的. 例如求 | 3x + 1| > | x – 4 | 中x的範圍? 此問題的解答, 在本文章的最下面. 首先我們來討論如何從邏輯推理的角度來探討這個問題.            | x |, the symbol , |  |, outside of x is called the absolute value.  It means that no matter x is a negative or a positive value,| x | is always positive. For example, if | x | = 1 then x = 1 or x = -1,  | x | > 1 then x > 1 or x < -1, and  | x | < 1 then x < 1 or x > -1. Geometrically, | x | < 1 means that the set of all of points that the distance from the point x = 0 is less than 1.  The problems on the absolute value could get very advanced, for example, find the range of x for | 3x + 1| > | x – 4 |.  The answer of this problem is at bottom of this article. Now, let’s find the procedure that we can solve this problem logically.

解題, 首先必先知道如何問自已一連串比此問題較簡單的問題. 就以求 | 3x + 1| > | x – 4 | 中x的範圍為例子. 以下一連串問題必須先瞭解. (1) | x | > 1 (2) | x + 1 | > 1 (3) | 2x + 1 | > 1 (4) | 1/x | > 1 (5) | 1 + 1/x | > 1 (6) | 1 + 1/x | > x (7) | 1 + 1/x | > | x |. 從這一連串由淺入深問題中來分析及瞭解它們邏輯的變化. 進而問自已比就以求 | 3x + 1| > | x – 4 | 中x的範圍更難的問題. 例如| x + 1/x | > | x |和| x + 1/x | +| 2x - 2/x | > | x²+x+1 |. 從以上的訓練, 可以增強邏輯推理的能力.