實驗班的部份上課內容 (空間的線)

 

空間的線

概念: 是一空間的線方程式. z = 0 ax + by + c = 0是一平面線的方程式. 其是空間線在xy平面上的投影. 所以要求空間的線,必須先決定其線在xy,xz,yz 平面上的投影方程.  以上是錯誤觀念. 因為 z=ax+by+cx+d是一空間平面的方程式. 由向量內積公式, 一向量  (a, b, c)和任一向量(x,y,z)的內積為零並且通過一點(x1, y1, z1)決定一空間平面的方程式, 其為; x,y,z代入x1, y1, z1d = -(ax1+by1+cz1). 至於空間的線方程式可以用參數式一般式來表.

 

 

參數式: (x1, y1, z1) 而與一向量(a,b,c) 平行之直線L 的參數式為(x,y,z)- (x1, y1, z1)=t(a,b,c)

;a,b,c0. a = 0, 則直線L 的一般式為,其餘類推.

 

另解:

一般式:

( xy 平面上的投影 )

( yz 平面上的投影 )

 ( xz 平面上的投影 )

 

兩面式: 由一般式可得下面兩組方程組並解其方程式可得兩平面方程式, 其交集為空間線的兩面式. 如下所示:

 

(1) ; (2)

(3) + (4)

(6) ; (7)

(8) + (9)

 

(5) (10) 兩平面的交集為空間線的兩面式

 

例題1: 空間上兩點為(2,3,4) (3,5,8), 求空間線的一般式.

解法一:

兩點形成的向量(1,2,4), 由任意一點(x,y,z) (2,3,4) (3,5,8) 一點 平行為(x-2,y-3,z-4)=t(1,2,4) 空間線的一般式為. 考慮如取(3,5,8) 的一般式為何?

         解法二:

1.     先決定分子(x1, y1, z1) -如果用 (2,3,4) 使一般式的關係式成立?   x=2, y =3, z=4 =>  故成立.

2.     再決定分母(a,b,c) -  用第二點(3,5,8)代入 x,y,z, .  如果要以上關係成立, a,b,c 的值須等於 1˙n, 2˙n, 4˙n. 因為=> . n=1 a=1, b=2, c = 4.所以其空間線的一般式為.

 

例題2: 空間上兩點為(2,3,4) (3,5,8), 求空間線的兩面式.

代入兩面式公式…(5):

 

(2) ; (3)

(4) + (5)

(1) (6) 兩平面的交集為空間線的兩面式

 

由兩平面的交集為空間線的方向向量為何?

平面E1: a1x+b1y+c1z+d1 =0 與平面E2: a2x+b2y+c2z+d2 =0 交成一直線的方向向量為與E1E2法向量垂直的向量,其為.

用向量來討論兩空間線關係式:

 

 

 

;(1)  代入(2)

代入(2); 代入(3) 不交於一點; 又因與向量(1,2,4) 平行, 與向量(7,2,4) 平行. 不平行. 所以為歪斜關係.

 

討論: ;如果的向量為, 平行. 所以重合.

 

兩空間線的關係式的可能性: (1) 平行 (2) 重合 (3) 相交於一點 (4) 歪斜. 可以用兩空間線在其三平面投影來決定.

 

關係   \   平面

xy

xz

yz

平行

(1) 三平面投影為平行 (2) 兩平行及一重合 (3) 兩平行及兩點投影在另一平面 (4) 一平行,一重合及兩點投影在另一平面

重合

(1) 三平面投影為一線 (2) 兩線及一點

相交於一點

一點

一點

一點

歪斜

 

 

 

 

 

 

思考問題: 1. 退化空間線方程式.

 

2. 兩空間線的距離.

的距離為何?

 

 

: 如圖一.以上兩線平行兩倍的向量(1,2,3)= 的向量(2,4,6);從點(1,3,5) 點至(2,3,4)作一向量為;此向量與向量(1,2,3)的交角為     

  

 

的距離為何?

1: 找兩空間線的公垂線, 用由L1與由L2的兩點作一向量. 此向量垂直於L1的方向向量(1,1,1) L2的方向向量(2,1,1). 所以與向量(1,1,1)和向量(2,1,1) 的內積為零.    (1)(2) (3) 代入(4)

.

 

2:上所有點作線與平行為從點A(0,0,0) 點至B(2t,t,t+1)作一向量為;此向量與向量(1,1,1)的交角為

 

 t等於多少時? 有極小值,  

t =  有極小值為 . 考慮如何驗證兩空間線的距離?

 

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