三角函數須知理論

三角函數條件: 直角三角形, 若其相似, 其邊長成比例.

 

定義: 如圖一設, q 的夾角, sin q = 對邊/斜邊, cos q =鄰邊/斜邊, tan q = 對邊/鄰邊, cot q = 鄰邊/對邊, sec q = 斜邊/鄰邊, csc q = 斜邊/對邊, 以邊長來表示如下: ,,  , ,,.(*以下內容觀念正確, 但部份內容, 須配合上課用邏輯推理的方式所學基本觀念加以訂正.)

 

公式: 由上可得 (1) ;  (2) ;  (3)  ; (4) ; (5) ; (6) ; 由圖二得, ; (7)  ; (8) ; (9)  ; (10) .

(11) 證明

: 1-tan2q=1- 

(12) 證明

 

直角三角形邊長與特別角(30°,60°,45°)的比率關係式:

 

直角三角形30°,60°,90°的邊長比率:

如圖三, 直角DABC,ÐB於一點D,使ÐABC=60°, ÐDBC=30°. 並令DABD為正三角形, 又因DBCD為等腰三角形, 由畢氏定理,

如圖四, DABC為等腰直角中,

 

(*以下內容觀念正確, 但部份內容, 須配合上課用邏輯推理的方式所學基本觀念加以訂正.)

三角函數的倍角ˋ和角與差角公式:

 

(1) 和角公式.

: DABC, ,DABD, 如右圖, DBCD,  ,  , DABC的面積,DABC的面積, (5)=(6)  , DABC,    .

(2) 倍角公式.

 

(3) , (1).

 

另解1: 直角三角形, 斜邊的長 = 1, 夾角=, 對邊的長= ,由畢氏定理, (鄰邊的長)2    -=鄰邊的長.

 

另解2: , 在作E, 使. 並設1. 為直角, 相等(對等角), 相等 DACDDBDE相似.   DBDE, , DACDDBED相似,

 

(4) .

(5) 差角公式.

(6) 證明 

(7) 證明

 

廣義角的定義:( 如圖五 )

 

(三角比值)  \ (項限)

I

II

III

IV

sinq

y

+

+

-

-

cosq

x

+

-

-

+

tanq

+

-

+

-

cotq

+

-

+

-

secq

+

-

-

+

cscq

+

+

-

-

 

 

應用三角函數證明下列常用三角函數值:

 

 

函數\角度

 

 

 

30°

45°

60°

15°

75°

22.5°

18°

sinq

cosq

tanq

1

 

 

三角函數的餘弦定理:

 

設一銳角DABC,, 的夾角為a, ,取一點D,使., 同理. 由畢氏定理,      , .注意: 須證明直角及鈍角三角形時餘弦定理亦成立, 則餘弦定理成立. 此證明留為習題.

 

 

三角函數的正弦定理:

 

設一銳角DABC,, 的夾角為,的夾角為,的夾角為. ,取一點D,使. DACD, ,DBCD, . 得在,  (1)(2)  , ,同理,   . 注意: 須證明直角及鈍角三角形時正弦定理亦成立, 則正弦定理成立. 此證明留為習題.

 

 

三角函數的運用:

(1)  如圖七證明在DABC, 等以其外接圓的直徑.

: A點過圓心作交圓於D. 令直徑d, 並設. DACDDABD為直角三角形? ¼(由餘弦定理)     ¼(,)   ,又因圓的直徑.

 

(2)  DABC的邊長為a,b,c, S DABC的面積, 證明等以DABC外接圓的直徑的兩倍.

: 如圖八, , , 由上題(1) 圓的直徑 , 故得等以DABC外接圓的直徑的兩倍.

 

(3) 海龍公式: 的面積,

由餘弦定理,的面積

 

(4) *內切圓的半徑

*的邊長為,由海龍公式,其內切圓的半徑為

(5) *內切圓的半徑與其外接圓的半徑的比率?

外接圓的半徑=其內切圓的半徑為

 

(6) 平面上兩線, L1其斜率為m1 L2其斜率為m2, 若兩線夾角為a, ¹90°,證明

 

1: L1L2交於一點A, L1x軸於B, L2x軸於C.  外角等於內角和. tan(A)=tan(B+C)=. (, .因兩夾角互補,   .

 

2: (如圖九)L1L2交於一點A, L1x軸於B, L2x軸於C. , 並令DABD, ; DACD, , 由餘弦定理得, (1) 因兩夾角互補,  

 

(7) 證明平面一點至一直線的距離為

: y0由上題得, 由圖十至該線的距離.   因三角形的邊長恆正, 為其距離.

 

(8) 不平行於,, 交角之平分線方程式為

: (x,y)交角之平分線上的任一點, (x,y)的距離相等. (4)

 

(9) 三角形ABC之周長20; 內切圓半徑為2,

(10) 證明 ( 中線定理 )DABC, 之對邊長為a,b,c,且其中線長為ma, mb, mc, 

 

(11) 證明 ( 投影定理 )DABC, 之對邊長為a,b,c,

(12) 證明 ( 平行四邊形定理 ) 平行四邊形ABCD,其對角線長的平方何等於四邊長平方和. 換言之

 

(13) 證明 (四邊形面積公式) 如任意四邊形ABCD,其對角線夾角q ,則其面積公式為

 

(14) 證明 (弧長與扇形面積公式) 如圓弧之中心角度為q ,此稱為弧度, 若半徑為r,則其弧長為rq. 並其扇形面積為

: 相似三角形畢氏定理(請參閱平面上的線), 角度的定義.
 

三角函數的倍角ˋ半角ˋ和角與差角公式應用:

1) 證明

:   

 

2) 證明

3) 證明

4) 證明

:  

sin20° sin40° sin80°   ,sin20° sin40° sin80°


5)
證明

6) 證明

:

7) 證明

8) 證明

9) 證明

10) 證明

11) 證明

12) 之值.

 

三角函數的和差與乘積互換之關係式:

1)      證明 

2)      證明 

 

三角函數的正弦與餘弦公式應用:

1)      證明其中其中故得

 

非直角三角形(DABC)之三角函數應用:

 

1)      證明

2)      證明

3)      證明

 

:  DABCÐA+ÐB+ÐC=180°, C=180°-(A+B),  

 

4)      證明

5)      證明

6)      證明

 

反三角函數: 證明以下反三角函數的關係式.

 

1)      正弦的反函數

設正弦的反函數sin-1:[-1,1]®  a. , sin-1(sinx)=x. b. , sin (sin-1x)=x.

 

2)      餘弦的反函數

設餘弦的反函數cos-1:[-1,1]®  a. , cos-1(cosx)=x. b. , cos (cos-1x)=x.

 

3)      正切的反函數

設正切的反函數tan-1:R®  a. , tan-1(tanx)=x. b. , tan (tan-1x)=x.

 

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  • Jasmine
  • 對邊和鄰邊的長度有限制嗎?嗯.......我的意思是像是對邊較長或者是鄰邊較長之類ㄉ
  • 能不能把問題寫的更詳細些 謝謝

    mcheng007 replied in 2010/07/23 03:04

  • Jasmine
  • 怎麼分辨對邊和鄰邊???
  • 討論角所對的邊叫對邊 討論角有兩邊與其相鄰 不是斜邊(直角所對的邊) 另一邊就是鄰邊

    mcheng007 replied in 2010/07/23 18:56

  • Jasmine
  • 如果沒有標示討論角怎麼辦? @ @
  • 三角函數必須有討問角 例如sin30度 討問角是30度 至於您說如果沒有標示討論角怎麼辦? 能不能給我一個具體的例子

    mcheng007 replied in 2010/07/24 18:38

  • Jasmine
  • 題目有給一個3.4.5.的直角三角形.然後題目是要求三角函數sinθ......等六個,可是題目沒有標示θ在任何角度上.....@ @
  • 我會令θ的對邊為3 則
    sinθ= 3/5
    cosθ= 4/5
    tanθ= 3/4
    cotθ= 4/3
    secθ= 5/4
    cseθ= 5/3

    又令θ的對邊為4 則
    sinθ= 4/5
    cosθ= 3/5
    tanθ= 4/3
    cotθ= 3/4
    secθ= 5/3
    cseθ= 5/4
    我不知道這是不是不出替題者的意思

    mcheng007 replied in 2010/07/30 05:21

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  • 訪客
  • 給你依個''讚''
  • 謝謝您 請多使用及交流

    mcheng007 replied in 2011/02/08 23:01

  • 我是天神大人
  • 這些三角函數的觀念都是正確的
    謝謝了
  • 謝謝您 請多使用及交流

    mcheng007 replied in 2011/05/20 21:23

  • 訪客
  • 我想請教問題....
    小明將6個大小相同的球,任意放入4個相同的箱子,每球放入各箱的機率相等,則其中兩箱各有兩球,另兩箱各有一球的機率是多少 ?
    感謝
  • 我不能一下子告訴您如何思考問題 不過我出給我自己同一類型 簡單一點的問題 例如2個大小相同的球 任意放入2個相同的箱子思考一下這問題有何特性 了解後將問題改成較難一點的 如3個大小相同的球 任意放入2個相同的箱子思考一下這問題有何特性與前一問題不同的地方 如需例子請參閱 "數學也可以這樣子玩 (60度直角三角形邊長比率)” 與 “數學也可以這樣子玩 (對數不等式)” 等文章 思考後如有需求請與我再交流

    mcheng007 replied in 2011/05/21 00:55

  • steven
  • 為何在圖二那裏,角A+角C=90度?角B=90度?
    是不是標示錯角了?

    我想用這幾篇文章自學三角函數(現國2),
    會不會有一些其他的小差錯,
    而造成觀念錯誤?

    謝謝了.
    語氣稍差請見諒..
  • 抱歉因忙無法即時回覆. 此內容觀念正確, 但部份內容, 須配合上課用邏輯推理的方式所學基本觀念加以訂正. 如需討論請留言. 在圖二那裏,是標示錯角, 不過是故意標示錯角的. 學生需加以訂正.

    mcheng007 replied in 2012/06/18 09:12

  • you chueng Zhung
  • 大大你好,
    恰巧最近在找關於三角函數的基本資料,
    就來到此居。

    從中有看到些許失誤的地方,
    看需不修正。


    角三角形30°,60°,90°的邊長比率:

    如圖三,直角⊿ABC中,從∠B作交於一點D,使∠ABC=60°【應∠ABD=60°】, ∠DBC=30°.


    圖片三的∠BDC應為120°,錯置為60°

    -----
    另外,建議 一個逗號就斷行、一張圖例佔一行,
    有時網頁的關係,常常版面會亂跑,
    原本敘述很清晰的內容,會因此看起來雜亂不堪,
    況且 數學對部份人來說算是天書級,
    看到版面如此的凌亂就沒動力繼續閱覽了。
  • 此內容觀念正確, 但部份內容, 須配合上課用邏輯推理的方式所學基本觀念加以訂正. 如需討論請留言.

    mcheng007 replied in 2012/07/11 19:02

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