記的好像是第二次上課時, 我的學生恩問我如何邏輯推理? 他說我可以解題,因為我只要把過程記住就行了. 如果題目必須無中生有的話,例如作補助線, 我就有問題. 你能教我怎麼想?” 我說你是我教過幾千個學生中, 第一個要我教他怎麼想的人. 何況你才一個國中生, 我教過的學生大多數是大學或以上的學生. 不錯!”你有想懂甚麼樣題目嗎他回覆沒有. 我就問恩: 如何證明60度直角三角形的邊長比率為1 : 根號(3) : 2? 他想一下後, 說他不會. “考試時, 你喜歡看到甚麼樣的三角形題目, 例如任意, 等腰, …” 我問. 他回覆,直角,等腰,和正三角形. (您想到的是不是跟恩的一樣的呢?)  我問他為甚麼呢?”  恩回覆, “那些三角形帶有特別的性質.”  我叫恩,試用他所知道三角形的性質來證明. 恩說, 能不能舉例. 我提示恩,在三角形的內部作補助線,來行成你喜歡的特別三角形. 恩想了一下說他會了. 請看他的解法:

 

解法一:

如圖一, 直角三角形ABC,BBDAC於一點D,使三角形ABC=60°, DBC=30°.  60度直角三角形邊長比率並令 AD=x, ABD為正三角形, AB = BD = AD = x. 又因BCD為等腰三角形, CD = BD = x, AC = AD + CD = 2x. 由畢氏定理,  BC = 根號(AC2 –AB2) =根號((2x)2-x2 )= 根號(3)x. AB:BC:AC =x: 根號(3): 2.

 

恩說他作一條補助線,造成一個等腰,和一個正三角形,來解題. 原來這不是無中生有,而是有邏輯的.

 

解法二:

恩作一條補助線,60度角分成兩個30度角, 並應用相似三角形邊長成比率的原理,來解題.

 

解法三:

恩說: 在三角形內部作補助線, 可以解題的話, 在外部作補助線, 也應該可以. 恩就用兩個60度直角三角形合起來, 製造成一個兩倍大的正三角形, 來解題.

 

恩說,感覺他自己好像變成一個數學天才了.

 

 

 

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  • 訪客
  • 解法1的第二行錯了。
  • 謝謝您 AD 已改成 AC

    mcheng007 於 2012/07/02 23:32 回覆