啟蒙數學

今天我的學生楊,問我一個有關對數不等式的問題, 1 + log ₂(2x+1) > log ₄(4x – 1), 解x, 說他不會. 我跟往常一樣, 叫他出給他自己同一類型,簡單一點的問題. 他說 “1 > log ₄(4x – 1), 解x,可以嗎?” 我點頭說 “你應該會判斷才是阿! 你會解嗎?” 楊知道如果他不會的話, 我會叫他出一個更簡單一點的問題, 直到他會解為止. 如果他不會解的話, 他出下一更簡單一點的問題, 可能是1 > log ₄
x, 解x. 以下是他對 “1 > log ₄(4x – 1), 解x” 這個問題的解法:

解法一:

1 > log ₄(4x – 1)

=> 4¹ > 4x – 1 (因 y = a^x <=> log_ay = x)

=> 4+1 > 4x –1 +1

=> 5 > 4x

=> 5 (1/4) > 4x (1/4)

=> 5/4 > x

解法二:

1 > log ₄(4x – 1)

=> log₄4 > log ₄(4x – 1) (因log₄4 = 1)

=> 4 > 4x – 1 (因a> b <=> log a > log b)

=> 4+1 > 4x –1 +1

=> 5 > 4x

=> 5 (1/4) > 4x (1/4)

=> 5/4 > x

我說 “不錯喔! 那你如何把1 + log ₂(2x+1) > log ₄(4x – 1) 簡化至1 > log _a(bx + c) 的形式呢? ”  楊說 “他已經會了.” 以下是他的解法:

1 + log ₂(2x+1) > log ₄(4x – 1)

=> 1 > log ₄(4x – 1)  - log ₂(2x+1) (因log₃3 = 1)

=> 1 > log (4x – 1) / log4  - log (2x+1) / log 2 (因log_ab = log b / log a)

=>1 > log₂ (4x – 1) / log₂4  - log ₂ (2x+1) / log₂ 2 (因log_ab / log_aC = log b / log C)

=>1 > log₂ (4x – 1) / 2  - log ₂ (2x+1) / 1 (因log_aaⁿ = n)

=>1 > log₂ (4x – 1)^{(1 / 2)}  - log ₂ (2x+1) (因nlog_ab = log_abⁿ)

=>1 > log₂ ((4x – 1)^{(1 / 2)} / (2x+1) (因log (a/b) = loga – log b)

楊說 “他已經簡化至1 > log _a(bx + c) 的形式了. ”  如果您不知道如何繼續解, 您對指數邏輯的瞭解, 有加強的空間喔.

我說“很不錯喔! 不過你用的一些公式都要會證明ㄡ.” 楊說“他都會.”那天我忘記叫他出給他自己同一類型,比1 + log ₂(2x+1) > log ₄(4x – 1), 解x, 更難一點的問題, 並試著解它. 我下次與他討論.  楊將出難一點的問題,可能是1 + log ₂(2x+1) > log ₃(4x – 1), 解x
. 為甚麼?

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