啟蒙數學

動腦時間!

記的好像是第二次上課時, 我的學生恩問我如何邏輯推理? 他說“我可以解題,因為我只要把過程記住就行了. 如果題目必須無中生有的話,例如作補助線, 我就有問題了. 你能教我怎麼想嗎?” 我說“你是我教過幾千個學生中, 第一個要我教他怎麼想的人. 何況你才一個國中生, 我教過的學生大多數是大學或以上的學生. 不錯喔!”你有想懂甚麼樣的題目嗎?  他回覆沒有. 我就問恩: 如何證明60度直角三角形的邊長比率為1 : 根號(3) : 2? 他想一下後, 說他不會. “考試時, 你喜歡看到甚麼樣的三角形題目, 例如任意, 等腰, …” 我問. 他回覆,直角,等腰,和正三角形. (您想到的是不是跟恩的一樣的呢?)  我問他 “為甚麼呢?”  恩回覆, “那些三角形帶有特別的性質.”  我叫恩,試用他所知道三角形的性質來證明. 恩說, 能不能舉例. 我提示恩,在三角形的內部作補助線,來行成你喜歡的特別三角形. 恩想了一下說他會了. 請看他的解法:

今天我的學生楊,問我一個有關對數不等式的問題, 1 + log ₂(2x+1) > log ₄(4x – 1), 解x, 說他不會. 我跟往常一樣, 叫他出給他自己同一類型,簡單一點的問題. 他說 “1 > log ₄(4x – 1), 解x,可以嗎?” 我點頭說 “你應該會判斷才是阿! 你會解嗎?” 楊知道如果他不會的話, 我會叫他出一個更簡單一點的問題, 直到他會解為止. 如果他不會解的話, 他出下一更簡單一點的問題, 可能是1 > log ₄
x, 解x. 以下是他對 “1 > log ₄(4x – 1), 解x” 這個問題的解法:

| x |,  x以外的符號 |  | 是所謂的絕對值. 這表示不管x是一個正數或負數的值，取絕對值得結果是恆正. 例如 | x | = 1, 則 x = 1 或 x = -1,  | x | > 1, 則 x > 1 或 x < -1, 且 | x | < 1, 則 x < 1 或 x > -1. 從幾何的角來看, | x | < 1可解示成以x=0為中心點距離小於1的所有點的集合. 絕對值的題目可以蠻進階的. 例如求 | 3x + 1| > | x – 4 | 中x的範圍? 此問題的解答, 在本文章的最下面. 首先我們來討論如何從邏輯推理的角度來探討這個問題.            | x |, the symbol , |  |, outside of x is called the absolute value.  It means that no matter x is a negative or a positive value,| x | is always positive. For example, if | x | = 1 then x = 1 or x = -1,  | x | > 1 then x > 1 or x < -1, and  | x | < 1 then x < 1 or x > -1. Geometrically, | x | < 1 means that the set of all of points that the distance from the point x = 0 is less than 1.  The problems on the absolute value could get very advanced, for example, find the range of x for | 3x + 1| > | x – 4 |.  The answer of this problem is at bottom of this article. Now, let’s find the procedure that we can solve this problem logically.

解題, 首先必先知道如何問自已一連串比此問題較簡單的問題. 就以求 | 3x + 1| > | x – 4 | 中x的範圍為例子. 以下一連串問題必須先瞭解. (1) | x | > 1 (2) | x + 1 | > 1 (3) | 2x + 1 | > 1 (4) | 1/x | > 1 (5) | 1 + 1/x | > 1 (6) | 1 + 1/x | > x (7) | 1 + 1/x | > | x |. 從這一連串由淺入深問題中來分析及瞭解它們邏輯的變化. 進而問自已比就以求 | 3x + 1| > | x – 4 | 中x的範圍更難的問題. 例如| x + 1/x | > | x |和| x + 1/x | +| 2x - 2/x | > | x²+x+1 |. 從以上的訓練, 可以增強邏輯推理的能力.

微分定義: 設函數y = f(x)在某區間內,而x值為x₀及x₀ + Δx,其Δx值為無窮小時.在此區間內某兩無窮接近點的斜率, f(x)的微分為Δy / Δx = (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / (x₀ + Δx - x₀) = (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx, Δx稱為自變數記作dx,即是dx = Δx. Δy稱為應變數記作dy,即是dy = Δy.於是一函數y = f(x)的微分(導數) = f'(x) = dy / dx.又可記作dy = f'(x) dx.

 如圖三角形的兩條高AD,BE一定交於一點 H,只要證明從C至H作一線交AB於F也是另一條高就可以.

三角形ACD與三角形BCE相似 (為甚麼?)   Þ   三角形ACD,三角形BCE,三角形BDH 與三角形AEH全部相似(為甚麼?)   Þ   AE/EH=BE/CE  Þ  AE/ BE = EH /CE, 又ÐAEB= ÐCEB=90°   Þ  三角形ABE與三角形CEH相似  (為甚麼?)  Þ  ÐABE= ÐECH   又ÐEHC= ÐFHB (為甚麼?)     Þ   ÐHFB= ÐHEC=90°, 故 CF 亦是高.

解答提示: (第一類型如圖一)

            9=5,4 (不可能?)

  幻方專家

6階星形格式幻方或縱橫圖，由一組排放在6角星形交點的整數組成，其每4個數的行之和均相等為26。所填充的數是由從1到12的連續整數組成，其如上圖。其有80組解答，試試看您是否能找到所有解答.

解一:

如何推論負負得正? 假設一負數為-a, 首先必須知道 -a x 0 = 0 ---(1). 再者須知另負數 -b, -b + b = 0 ---(2).  在(1)中的第一個 0 可用(2)中的-b + b 代替. 故 -a x (-b + b) = 0 => (-a x -b) + (-a x b)  = 0  => -a x -b = a x b.  故一負數 -a 乘以另一負數 -b 等於一正數 a 乘以另一正數 b . 得證負負得正.

實驗班的部份思考問題

1). 如x₀¹x₁¹ x₂, 則f(x)除以(x-x₀) (x-x₁) (x-x₂)的餘式為

(1)              由內積公式得而cosq 的值在[-1..1]之間, 如取則cosq 的值在[0..1]之間, 因≧ 0

空間的線