啟蒙數學

空間的線

概念: 【是一空間的線方程式. 若 z = 0 則ax + by + c = 0是一平面線的方程式. 其是空間線在xy平面上的投影. 所以要求空間的線,必須先決定其線在xy,xz,或yz 平面上的投影方程.】  以上是錯誤觀念. 因為 z=ax+by+cx+d是一空間平面的方程式. 由向量內積公式, 一向量  (a_, b_, c)和任一向量(x,y,z)的內積為零並且通過一點(x_1, y_1, z₁)決定一空間平面的方程式, 其為; x,y,z代入x_1, y_1, z₁得d = -(ax₁+by₁+cz₁). 至於空間的線方程式可以用參數式和一般式來表.

參數式: 過 (x_1, y_1, z₁) 而與一向量(a,b,c) 平行之直線L 的參數式為(x,y,z)- (x_1, y_1, z₁)=t(a,b,c)

;若a,b,c≠0. 若a = 0, 則直線L 的參數式為,其餘類推.

另解:

( xy 平面上的投影 )

( yz 平面上的投影 )

 ( xz 平面上的投影 )

一般式: 由參數式可得下面兩組方程組並解其方程式可得兩平面方程式, 其交集為空間線的一般式. 如下所示:

由 (1) 得;由 (2) 得

(3) + (4) 得

由 (6) 得;由 (7) 得

(8) + (9) 得

由(5) 和(10) 兩平面的交集為空間線的一般式

例題1: 空間上兩點為(2,3,4) 與 (3,5,8), 求空間線的參數式.

解法一:

兩點形成的向量為(1,2,4), 由任意一點(x,y,z) 與 (2,3,4) 或 (3,5,8)中 一點 與平行為(x-2,y-3,z-4)=t(1,2,4) 空間線的參數式為. 考慮如取(3,5,8) 的參數式為何?

         解法二:

1.      先決定分子(x₁, y₁, z_{1) -}如果用 (2,3,4) 使參數式的關係式成立?  如 x=2, y =3, z=4 =>  故成立.

2.      再決定分母(a,b,c) -  用第二點(3,5,8)代入 x,y,z, 得.  如果要以上關係成立, a,b,c 的值須等於 1˙n, 2˙n, 4˙n. 因為=> . 若 n=1 則 a=1, b=2, c = 4.所以其空間線的參數式為.

例題2: 空間上兩點為(2,3,4) 與 (3,5,8), 求空間線的一般式.

代入一般式公式…(5): 得

由 (2) 得;由 (3) 得

(4) + (5) 得

由(1) 和(6) 兩平面的交集為空間線的一般式

由兩平面的交集為空間線的方向向量為何?

平面E₁: a₁x+b₁y+c₁z+d₁ =0 與平面E₂: a₂x+b₂y+c₂z+d₂ =0 交成一直線的方向向量為與E₁和E₂法向量垂直的向量,其為.

用向量來討論兩空間線關係式:

;由(1)得  代入(2)得

代入(2)得; 將代入(3) 與不交於一點; 又因與向量(1,2,4) 平行, 與向量(7,2,4) 平行. 則與不平行. 所以與為歪斜關係.

討論: ;如果與的向量為 , 則與平行. 又所以與重合.

兩空間線的關係式的可能性: (1) 平行 (2) 重合 (3) 相交於一點 (4) 歪斜. 可以用兩空間線在其三平面投影來決定.

思考問題: 1. 退化空間線方程式.

2. 兩空間線的距離.

的距離為何?

解: 如圖一.以上兩線平行兩倍的向量(1,2,3)= 的向量(2,4,6);從點(1,3,5) 點至(2,3,4)作一向量為;此向量與的向量(1,2,3)的交角為     

的距離為何?

解1: 找兩空間線的公垂線, 用由L₁得與由L₂得的兩點作一向量. 此向量垂直於L₁的方向向量(1,1,1) 與L₂的方向向量(2,1,1). 所以與向量(1,1,1)和向量(2,1,1) 的內積為零. 則    由(1)(2) 解由(3) 解代入(4)得 

故. 則

解2:以上所有點作線與平行為從點A(0,0,0) 點至B(2t,t,t+1)作一向量為;此向量與的向量(1,1,1)的交角為

     當t等於多少時? 有極小值,  

當t =  時有極小值為 . 考慮如何驗證為兩空間線的距離?