微分定義: 設函數y = f(x)在某區間內,而x值為x0及x0 + Δx,其Δx值為無窮小時.在此區間內某兩無窮接近點的斜率, f(x)的微分為Δy / Δx = (f(x0 + Δx) - f(x0)) / (x0 + Δx - x0) = (f(x0 + Δx) - f(x0)) / Δx, Δx稱為自變數記作dx,即是dx = Δx. Δy稱為應變數記作dy,即是dy = Δy.於是一函數y = f(x)的微分(導數) = f'(x) = dy / dx.又可記作dy = f'(x) dx.
可微分條件: 一函數必須是連續性的平滑曲線. 其中連續性及平滑曲線兩個條件是必須的. 為甚麼?
微分成立性的概念: 微分可得函數任一點的斜率的比值. 但一點的x值為x0時,其代入微分定義的公式,分母為x0 - x0 = 0. 其為無意義. 為甚麼微分概念成立? 如有需求,歡迎回應 .
微分應用:
求極值: 函數導數可用來求極值. 函數微分是一隨機斜率的公式(函數任一點的切線 的 方程式). 一函數的局部的最高或最低點的切線必與x軸平行. 故一函數y = f(x)的微分= f’(x) = 0 (因與x軸平行的線的斜率為0) 可用來求極值. 解f’(x) = 0可得一函數的局部的最高或最低點的x值. 後將其解代入原來的函數f(x),得其對應的y值. 值最大的可能是該函數的最大值,如該函數沒有無限大. 值最小的可能是該函數的最小值,如該函數沒有負的無限大.(注意解f’(x) = 0的值須代入原來的函數,不是微分方程式本身.
求近似值(牛頓法): 首先選擇一個接近函數y=f(x)零的點在x軸上,令它為x0,計算相對應切線斜率為f’(x0).用點斜式可得穿過點(x0,f(x0))並且斜率為f’(x0)的直線的方程式.解其與x軸的交點的x坐標,令它為x1.並用它開始下一輪迭代,其公式為x1= x0 - f(x0) /f’(x0). 其證明如下: 過點(x0,f(x0))的點斜式方成為(y- f(x0))
/ (x1– x0) = f’(x0). f’(x0)是該線的斜率
. 其與x軸的y=0交點方成式為(0 - f(x0)) / (x1– x0) = f’(x0).運算後可公式x1= x0- f(x0) /f’(x0). 故迭代公式為xn= xn-1- f(xn-1) /f’(xn-1). 注意如右圖,x0值如取於A與B的區間,牛頓法近似值是錯的.x0值如取於C與D的區間,牛頓法近似值是正確的.為甚麼? 以下是用牛頓法求Ö2近似值的例子. y=f(x)= x2-2.f’(x) = 2x.為甚麼? 設x0= 2
=> x1= x0- f(x0) /f’(x0) =
2 – (22-2)/ (2 x 2) = 1.5 => x2= x1- f(x1) /f’(x1) =
1.5 – (1.52-2)/ (2 x 1.5) = 1.41666… 如此迭代即可得Ö2更準確的近似值.
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