啟蒙數學

第五章  三角函數

須知理論: 相似三角形何畢氏定理(請參閱平面上的線), 角度的定義.

條件: 直角三角形, 若其相似, 其邊長成比例.

定義: 如圖一設 , 並q 為與的夾角, 則 sin q = 對邊/斜邊, cos q =鄰邊/斜邊, tan q = 對邊/鄰邊, cot q = 鄰邊/對邊, sec q = 斜邊/鄰邊, csc q = 斜邊/對邊 (請參閱圖二), 以邊長來表示如下: ,,  , ,,.

公式: 由上可得 (1) ;  (2) ;  (3)  ; (4) ; (5) ; (6) ; 由圖二得, 因 ; (7)  ; (8) ; (9)  ; (10) .

(11) 證明

解: 1-tan²q=1-  

(12) 證明

直角三角形邊長與特別角(30°,60°,45°)的比率關係式:

直角三角形30°,60°,90°的邊長比率:

如圖三, 直角DABC中,從ÐB作交於一點D,使ÐABC=60°, ÐDBC=30°. 並令因DABD為正三角形, 則又因DBCD為等腰三角形, 則由畢氏定理, 故故

如圖四, DABC為等腰直角中, 令 故

倍角ˋ和角與差角公式:

(1) 和角公式.

解: 在 DABC中, 令 ,在 DABD中, 如右圖 , 在 DBCD中,  ,  , 因DABC的面積 ,又DABC的面積, 由(5)=(6)得      , 在 DABC中,    .

(2) 倍角公式.

(3) , 由(1)得.

另解1: 直角三角形, 斜邊的長 = 1, 夾角=, 對邊的長= ,由畢氏定理, 得(鄰邊的長)²    -=鄰邊的長.

另解2: 作分為與角, 在作交於E點, 使. 並設為1. 因與為直角, 並與相等(對等角), 故與相等  故DACD與DBDE相似.   在DBDE中, , 且 因DACD與DBED相似, 故  

(4) .

(5)   差角公式.

(6) 證明 

(7) 證明

廣義角的定義:( 如圖五 )

簡化下列三角函數值:

sin(90°-q)=? ;sin(180°-q)=?; sin(270°-q)=?; sin(360°-q)=?; sin(480°-q)=?

tan(90°-q)=? ; tan (180°-q)=?; tan (270°-q)=?; tan (360°-q)=?; tan (480°-q)=?

應用三角函數證明下列常用三角函數值:

餘弦定理:

設一銳角DABC中,, 及的夾角為a, 在中,取一點D作,使., 同理和 . 由畢氏定理,      , 則.注意: 須證明直角及鈍角三角形時餘弦定理亦成立, 則餘弦定理成立. 此證明留為習題.

正弦定理:

設一銳角 DABC中,, 及的夾角為,及的夾角為,及的夾角為. 在中,取一點D作,使. 在 DACD中, ,在 DBCD中, . 得在,  由(1)(2)  , 則,同理,   . 注意: 須證明直角及鈍角三角形時正弦定理亦成立, 則正弦定理成立. 此證明留為習題.

三角函數的運用:

< >如圖七證明在DABC中, 等以其外接圓的直徑.解: 從A點過圓心作交圓於D點. 令直徑為d, 並設和. 且DACD與 DABD為直角三角形? 又 ¼(由餘弦定理)     ¼(因,和)   ,又因得圓的直徑.

< > 若 DABC的邊長為a,b,c, 且S 表DABC的面積, 證明等以DABC外接圓的直徑的兩倍.解: 如圖八, , 則, 由上題(1) 圓的直徑 , 故得等以DABC外接圓的直徑的兩倍.

(3) 海龍公式: 的面積, 若

由餘弦定理,則設則因的面積 

(4) 內切圓的半徑若

若的邊長為,由海龍公式,其內切圓的半徑為 

(5) 內切圓的半徑與其外接圓的半徑的比率?

外接圓的半徑=其內切圓的半徑為則

(6) 平面上兩線, L₁其斜率為m₁ 及L₂其斜率為m₂, 若兩線夾角為 a, 其¹90°,證明

解1: 令L₁與L₂交於一點A, 並L₁交x軸於B, 且L₂交x軸於C.  外角等於內角和. 則tan(A)=tan(B+C)=. (因, 並.因兩夾角互補, 故  .

解2: (如圖九)令L₁與L₂交於一點A, 並L₁交x軸於B, 且L₂交x軸於C. 作, 並令 DABD中, ; DACD中, , 由餘弦定理得, 由(1)得  因兩夾角互補, 故 

(7) 證明平面一點 至一直線的距離為

解: 代y₀入得 解 由上題得, 由圖十為至該線的距離.   因三角形的邊長恆正, 則為其距離.

(8) 線不平行於,且, 則交角之平分線方程式為 

解: 設(x,y)為交角之平分線上的任一點, 由(x,y)至的距離相等. 由(4)得

(9) 三角形ABC之周長20; 內切圓半徑為2, 則 

(10) 證明 ( 中線定理 )在DABC中, 之對邊長為a,b,c,且其中線長為m_a, m_b, m_c,則 

解: (如圖十一) ,  同理可證及

(11) 證明 ( 投影定理 )在DABC中, 之對邊長為a,b,c, 則

(12) 證明 ( 平行四邊形定理 ) 平行四邊形ABCD中,其對角線長的平方何等於四邊長平方和. 換言之

解: (如圖十二)  ,由(1)得,由(2)+(3) 得

(13) 證明 (四邊形面積公式) 如任意四邊形ABCD中,其對角線夾角q ,則其面積公式為

解: (如圖十三)作分別為DABC與DACD的高. 四邊形ABCD的面積為 

(14) 證明 (弧長與扇形面積公式) 如圓弧之中心角度為q ,此稱為弧度, 若半徑為r,則其弧長為rq. 並其扇形面積為

三角函數的倍角ˋ半角ˋ和角與差角公式應用:

1) 證明

解:   又

2) 證明

3) 證明

4) 證明

解:  

sin20° sin40° sin80°      ,則sin20° sin40° sin80°

5) 證明

6) 證明

解:

7) 證明

8) 證明

9) 證明

10) 證明

11) 證明

12) 求 之值.

三角函數的和差與乘積互換之關係式:

< >證明  證明   

三角函數的正弦與餘弦公式應用:

< > 假若 證明   或假若證明 由(1)(2)得 

< >(如圖十四) DABC為任意三角形, 正方形ABHI, BCFG, 與ACED, 為DABC三邊為邊長構成的正方形. 證明DABC的面積 = DADI的面積 =DCEF的面積 =DBGH的面積 . 解: DABC的面積 =DCEF 的面積同理可證DABC的面積 = DADI的面積=DBGH的面積 .

< >(如圖十五) 預測一河岸AˋB兩點之間的距離, 若在點C差一標竿,並測ÐACB=45°,ÐABC=60°及, 公尺,求在求D ABC的面積?解: 由正弦定理得  公尺.

同理可得, 由(3)海龍公式的證明, 可得D ABC的面積.

< >(如圖十六) 一巨人直立地面, 在他的右側B點,    測的其高的仰角為75°,並在其左側C點的仰角為45°,已AˋB兩點之間的距離為50公尺,求巨人的高? 

非直角三角形(DABC)之三角函數應用:

< >證明證明證明 

解:  DABC中ÐA+ÐB+ÐC=180°, C=180°-(A+B),  

< >證明證明證明反三角函數: 證明以下反三角函數的關係式.

< >正弦的反函數設正弦的反函數sin^-1:[-1,1]®則  a. 當時, sin^-1(sinx)=x. b. 當時, sin (sin^-1x)=x.

< >餘弦的反函數設餘弦的反函數cos^-1:[-1,1]®則  a. 當時, cos^-1(cosx)=x. b. 當時, cos (cos^-1x)=x.

< >正切的反函數設正切的反函數tan^-1:R®則  a. 當時, tan^-1(tanx)=x. b. 當時, tan (tan^-1x)=x.

解答

三角函數的運用:

(9) 三角形ABC之周長20; 內切圓半徑為2, 則 

解:   .(如圖一)

(11) 證明 ( 投影定理如圖二 )在DABC中, 之對邊長為a,b,c, 則

解: 作 得  ,由(1)(2)得   ,同理可證 及

(14) 證明 (弧長與扇形面積公式) 如圓弧之中心角度為q , 此稱為弧度, 若半徑為r,則其弧長為rq. 並其扇形面積為

解: 請注意且並圓的面積等於,其圓周長為以上兩公式需用積分證明.由此兩公式得扇形面積為 ,又弧長為

三角函數的倍角ˋ半角ˋ和角與差角公式應用:

2) 證明

解:    同理可證

3) 證明 (here)

解:

5) 證明

解: 由(1)得

7) 證明

解:

8) 證明

解:  

9) 證明

解:  

10) 證明

解:   

11) 證明

解:

12) 求 之值.

解: 由 得 ;又得 又得  

由得 

三角函數的正弦與餘弦公式應用:

1)    假若 證明   或假若 證明  由(1) 或(2)得

解:    

由(1)   

非直角三角形(DABC)之三角函數應用:

3)   證明

解: