(*以下內容觀念正確, 但部份內容, 須配合上課用邏輯推理的方式所學基本觀念加以訂正.)  

 

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第五章  三角函數

 

須知理論: 相似三角形何畢氏定理(請參閱平面上的線), 角度的定義.

 

條件: 直角三角形, 若其相似, 其邊長成比例.

 

定義: 如圖一設 , q 的夾角, sin q = 對邊/斜邊, cos q =鄰邊/斜邊, tan q = 對邊/鄰邊, cot q = 鄰邊/對邊, sec q = 斜邊/鄰邊, csc q = 斜邊/對邊 (請參閱圖二), 以邊長來表示如下: ,,  , ,,.

 

公式: 由上可得 (1) ;  (2) ;  (3)  ; (4) ; (5) ; (6) ; 由圖二得, ; (7)  ; (8) ; (9)  ; (10) .

(11) 證明

: 1-tan2q=1-  

(12) 證明

 

直角三角形邊長與特別角(30°,60°,45°)的比率關係式:

 

直角三角形30°,60°,90°的邊長比率:

如圖三, 直角DABC,ÐB於一點D,使ÐABC=60°, ÐDBC=30°. 並令DABD為正三角形, 又因DBCD為等腰三角形, 由畢氏定理,

如圖四, DABC為等腰直角中,  

倍角ˋ和角與差角公式:

 

(1) 和角公式.

: DABC, , DABD, 如右圖 , DBCD,  ,  , DABC的面積 ,DABC的面積, (5)=(6)      , DABC,    .

(2) 倍角公式.

 

(3) , (1).

 

另解1: 直角三角形, 斜邊的長 = 1, 夾角=, 對邊的長= ,由畢氏定理, (鄰邊的長)2    -=鄰邊的長.

 

另解2: , 在作E, 使. 並設1. 為直角, 相等(對等角), 相等  DACDDBDE相似.   DBDE, ,  DACDDBED相似,   

 

(4) .

(5)   差角公式.

(6) 證明 

(7) 證明

 

廣義角的定義:( 如圖五 )

 

(三角比值)  \ (項限)

I

II

III

IV

sinq

y

+

+

-

-

cosq

x

+

-

-

+

tanq

+

-

+

-

cotq

+

-

+

-

secq

+

-

-

+

cscq

+

+

-

-

 

簡化下列三角函數值:

sin(90°-q)=? ;sin(180°-q)=?; sin(270°-q)=?; sin(360°-q)=?; sin(480°-q)=?

tan(90°-q)=? ; tan (180°-q)=?; tan (270°-q)=?; tan (360°-q)=?; tan (480°-q)=?

 

 

應用三角函數證明下列常用三角函數值:

 

角度

      

 

函數

30°

45°

60°

15°

75°

22.5°

18°

sinq

cosq

tanq

1

 

 

餘弦定理:

 

設一銳角DABC,, 的夾角為a, ,取一點D,使., 同理 . 由畢氏定理,      , .注意: 須證明直角及鈍角三角形時餘弦定理亦成立, 則餘弦定理成立. 此證明留為習題.

 

 

正弦定理:

 

設一銳角 DABC,, 的夾角為,的夾角為,的夾角為. ,取一點D,使. DACD, , DBCD, . 得在(1)(2)  , ,同理 . 注意: 須證明直角及鈍角三角形時正弦定理亦成立, 則正弦定理成立. 此證明留為習題.

 

 

三角函數的運用:

< >如圖七證明在DABC, 等以其外接圓的直徑.: A點過圓心作交圓於D. 令直徑d, 並設. DACD DABD為直角三角形?  ¼(由餘弦定理)     ¼(,)   ,又因圓的直徑.

 

 

< > DABC的邊長為a,b,c, S DABC的面積, 證明等以DABC外接圓的直徑的兩倍.: 如圖八, , , 由上題(1) 圓的直徑 , 故得等以DABC外接圓的直徑的兩倍.

 

 

(3) 海龍公式: 的面積,

由餘弦定理,的面積 

 

(4) *內切圓的半徑

*的邊長為,由海龍公式,其內切圓的半徑為 

(5) *內切圓的半徑與其外接圓的半徑的比率?

外接圓的半徑=其內切圓的半徑為

 

(6) 平面上兩線, L1其斜率為m1 L2其斜率為m2, 若兩線夾角為 a, ¹90°,證明

 

1: L1L2交於一點A, L1x軸於B, L2x軸於C.  外角等於內角和. tan(A)=tan(B+C)=. (, .因兩夾角互補,   .

 

2: (如圖九)L1L2交於一點A, L1x軸於B, L2x軸於C. , 並令 DABD, ; DACD, , 由餘弦定理得, (1)  因兩夾角互補,  

 

(7) 證明平面一點 至一直線的距離為

: y0  由上題得, 由圖十至該線的距離.   因三角形的邊長恆正, 為其距離.

 

(8) 不平行於,, 交角之平分線方程式為 

: (x,y)交角之平分線上的任一點, (x,y)的距離相等. (4)

 

(9) 三角形ABC之周長20; 內切圓半徑為2,  

(10) 證明 ( 中線定理 )DABC, 之對邊長為a,b,c,且其中線長為ma, mb, mc, 

: (如圖十一) ,  同理可證

 

(11) 證明 ( 投影定理 )DABC, 之對邊長為a,b,c,

(12) 證明 ( 平行四邊形定理 ) 平行四邊形ABCD,其對角線長的平方何等於四邊長平方和. 換言之

: (如圖十二)  ,(1),(2)+(3)

 

(13) 證明 (四邊形面積公式) 如任意四邊形ABCD,其對角線夾角q ,則其面積公式為

: (如圖十三)分別為DABCDACD的高. 四邊形ABCD的面積為 

 

 

(14) 證明 (弧長與扇形面積公式) 如圓弧之中心角度為q ,此稱為弧度, 若半徑為r,則其弧長為rq. 並其扇形面積為

 

三角函數的倍角ˋ半角ˋ和角與差角公式應用:

 

1) 證明

:   

 

2) 證明

3) 證明

4) 證明

:  

sin20° sin40° sin80°      ,sin20° sin40° sin80°


5) 證明

6) 證明

:

7) 證明

8) 證明

9) 證明

10) 證明

11) 證明

12) 之值.

 

三角函數的和差與乘積互換之關係式:

 

< >證明  證明   

 

三角函數的正弦與餘弦公式應用:

 

< > 假若 證明   或假若證明 (1)(2) 

 

< >(如圖十四) DABC為任意三角形, 正方形ABHI, BCFG, ACED, DABC三邊為邊長構成的正方形. 證明DABC的面積 = DADI的面積 =DCEF的面積 =DBGH的面積 . : DABC的面積 =DCEF 的面積同理可證DABC的面積 = DADI的面積=DBGH的面積 .

 

 

< >(如圖十五) 預測一河岸AˋB兩點之間的距離, 若在點C差一標竿,並測ÐACB=45°,ÐABC=60°, 公尺,在求D ABC的面積?: 由正弦定理得  公尺.

 

同理可得, (3)海龍公式的證明, 可得D ABC的面積.

 

< >(如圖十六) 一巨人直立地面, 在他的右側B,    測的其高的仰角為75°,並在其左側C點的仰角為45°,AˋB兩點之間的距離為50公尺,求巨人的高

 

 

非直角三角形(DABC)之三角函數應用:

 

< >證明證明證明 

 

DABCÐA+ÐB+ÐC=180°, C=180°-(A+B),  

 

< >證明證明證明反三角函數: 證明以下反三角函數的關係式.

 

 

< >正弦的反函數設正弦的反函數sin-1:[-1,1]®  a. , sin-1(sinx)=x. b. , sin (sin-1x)=x.

 

 

< >餘弦的反函數設餘弦的反函數cos-1:[-1,1]®  a. , cos-1(cosx)=x. b. , cos (cos-1x)=x.

 

 

< >正切的反函數設正切的反函數tan-1:R®  a. , tan-1(tanx)=x. b. , tan (tan-1x)=x.

 

 

 

解答

 

三角函數的運用:

 

(9) 三角形ABC之周長20; 內切圓半徑為2,  

:   .(如圖一)

 

(11) 證明 ( 投影定理如圖二 )DABC, 之對邊長為a,b,c,

:    ,(1)(2)   ,同理可證

 

(14) 證明 (弧長與扇形面積公式) 如圓弧之中心角度為q , 此稱為弧度, 若半徑為r,則其弧長為rq. 並其扇形面積為

: 請注意並圓的面積等於,其圓周長為以上兩公式需用積分證明.由此兩公式得扇形面積為 ,又弧長為

 

三角函數的倍角ˋ半角ˋ和角與差角公式應用:

 

2) 證明

:    同理可證

 

3) 證明 (here)

:

5) 證明

: (1)

7) 證明

:

8) 證明

:  

9) 證明

:  

10) 證明

:   

 

 

11) 證明

:

 

 

 

12) 之值.

:   ;又得 又得  

 

 

 

三角函數的正弦與餘弦公式應用:

 

1)    假若 證明   或假若 證明  (1) (2)

 

:    

 

  

 

(1)   

 

非直角三角形(DABC)之三角函數應用:

 

3)   證明

:    

 

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    mcheng007 發表在 痞客邦 留言(14) 人氣()